Théorie du moteur Manson

Pour aborder cette page, il est nécessaire d'avoir quelques connaissances sur la propagation de la chaleur, les principes de base de la thermodynamique et quelques notions de cinématique.
Si vous souhaitez vous rafraîchir l'esprit sur ces thèmes, allez à cette adresse où tout est expliqué le plus simplement possible.

Ensuite, on va procéder en deux étapes :
- Calculer son moteur.
- Optimiser celui-ci.

1. Calculer son moteur :

1.1 Calcul du travail récupéré:

Si on combine nos connaissances en thermodynamique et celles en cinématique, on peut calculer son moteur. En se fixant les températures maximale et minimale, on peut calculer la pression régnant dans le moteur pour chaque valeur de rotation de l'arbre moteur.
Ensuite, en fonction des caractéristiques dimensionnelles de chaque moteur, on pourra déterminer l'énergie récupérée à chaque cycle complet.

Représentation schématique d'un moteur Manson

Première remarque : quand on regarde le schéma ci-dessus, on s'aperçoit que les parties utiles au chauffage et au refroidissement sont égales à la course du piston.
Soit : L₁ = L₂ = 2r

Deuxième remarque : après révision ou non de ses notions de cinématique (voir ci-dessus), on peut écrire l'équation suivante, en supposant λ petit :

d = r (1 - cosφ) + 0,5 λ r sin² φ

où λ = r / l

Toisième remarque, il y a plusieurs volumes à considérer :
- le volume de chauffage V₁ (en rouge).
- le volume de refroidissement V₂ (en bleu).
- le volume maximal de chauffage V_1max , fonction des caractéristiques dimensionnelles du moteur.
- le volume maximal de refroidissement V_2max , lui aussi fonction des caractéristiques du moteur.

Ces volumes respectifs s'écrivent :
V₁ = d x π D₁² / 4 = [r (1 - cosφ) + 0,5 λ r sin ²φ] π D₁² / 4

V₂ = (2 r - d) x π ( D₁² - D₂²) / 4 = [2 r - r (1 - cosφ) - 0,5 λ r sin²φ] π ( D₁² - D₂²) / 4

V₂ = [r (1 + cosφ) - 0,5 λ r sin²φ] π ( D₁² - D₂²) / 4

Ensuite, pour chacun des volumes, il faut appliquer la relation suivante qui somme les différentes quantités de molécules-gramme de gaz présentes ( n est le nombre de molécules-gramme total enfermées dans le moteur)

n = Σ PV_i / RT_i

Dans cette expression i prend les valeurs suivantes :
- i = 1 pour le volume de chauffage, la température est alors T₁ = T_max.
- i = 2 pour le volume de refroidissement, la température est alors T₂ = T_min.

On remarquera qu'on fait l'hypothèse que la pression est uniforme dans tout le moteur à un instant donné.
Il ne faut surtout pas oublier qu'on n'a pas la même masse d'air durant le chauffage que pendant le refroidissement !

Quand φ = 0°, on met le cylindre à l'atmosphère. Le nombre de molécules-gramme de gaz chaud restant dans celui-ci est :
n₁ = P_atm V_1max / R T_max

Quand φ = 180°, on met le cylindre à l'atmosphère. Le nombre de molécules-gramme de gaz froid restant dans celui-ci est :
n₂ = P_atm V_2max / R T_min

Dès lors qu'on a n₁ , n₂ , les équations donnant V₁ et V₂ en fonction de φ, il n'y a plus qu'à faire chauffer les calculettes pour obtenir la valeur de la pression P pour chaque valeur de φ.

Cette pression P s'exerce sur la face du piston côté chaud et sur la face du piston côté froid en contact avec l'air froid. La force résultante est donc P π D₂² / 4
Le restant du piston côté froid est lui soumis à la pression atmosphérique. Mais un petit schéma vaut mieux qu'un long discours.

Répartition des pressions sur le piston

Si on se résume, à l'aller, quand la pression moyenne est p_moy, le travail est de :
W₁ = 2r (P_atm - p_moy) π D₂² / 4
Au retour, quand la pression moyenne est P_moy, le travail est de :
W₂ = 2r (P_moy - P_atm) π D₂² / 4
Le travail total au cours du cycle est donc :
W = 2r (P_moy - p_moy) π D₂² / 4

Enfin, pour ceux qui aurait perdu leur calculette, vous trouverez ci-dessous un tableur qui a l'avantage de faire le travail à notre place. Cliquez sur l'image pour travailler.

1.2 Calcul de la chaleur à fournir :

Quand le piston revient en arrière, il faut chauffer l'air frais pour l'amener à T_max et à son volume V_1max. Au départ, sa température était T_min et son volume V_2max.
Pour calculer la quantité de chaleur fournie au cours de cette opération, nous allons faire appel à la variation d'énergie interne de notre gaz. Celle-ci se définit de la façon suivante :
ΔU = ΔW₂ + ΔQ où W₂ représente le travail fourni au système (positif) ou donné par celui-ci (négatif dans ce cas) et Q la chaleur fournie au système (positif) ou restitué par celui-ci (négatif dans ce cas).
ΔU est indépendant, pour une même transformation, du ou des moyens utilisés.
Premier moyen : le cycle de Manson dans sa phase où le piston recule. Dans ce cas on a
ΔU = W₂ + Q sachant que W₂ a été calculé ci-dessus au §1.1 et que Q est ce qu'on recherche dans le cadre du calcul du rendement.
Deuxième moyen: un chauffage isochore (à volume constant) suivi d'une détente isotherme à T_max. Dans ce cas ΔU a pour valeur :
ΔU = W_c + Q_c + W_d + Q_d Nous allons donc procéder en deux temps :
- amener l'air, à volume constant V_2max, de T_min à T_max
- puis lui faire subir une détente isotherme à T_max pour l'amener de V_2max à V_1max
Pour ce faire, il faut apporter les quantités de chaleur suivantes :
Q_c = nC_v (T_max - T_min) lors de la transformation isochore, W_c = 0 car il n'y a pas de changement de volume
où C_v est la chaleur molaire du gaz considéré pour un chauffage, à volume constant, d'une température T_min à une température T_max.
Q_d = -W_d = nRT_max ln V_1max / V_2max on arrive donc à :
ΔU = Q_c = nC_v (T_max - T_min) = W₂ + Q soit, enfin :
Q = nC_v (T_max - T_min) - W₂ sachant que W₂ est négatif car c'est un travail qui"sort" du système.
En valeurs absolues, on obtient :
Q = nC_v (T_max - T_min) + W₂

1.3 Calcul du rendement : :

Le rendement est le rapport du travail récupéré au cours du cycle, W calculé au chapitre 1.1, sur la quantité de chaleur fournie au système. On a donc :
η = W / [ nC_v (T_max - T_min) + W₂ ]
Le calcul étant fastidieux, le tableur dont il est question ci-dessus vous aidera dans votre tâche. Mais les puristes peuvent s'en passer !

2. Optimiser son moteur :

Comme on a pu s'en rendre compte ci-dessus, le travail effectué à chaque cycle est fonction des caractéristiques dimensionnelles du moteur.
Si on fixe le diamètre du cylindre D₁, la puissance du moteur :
- sera proportionnelle à la course du piston ou au rayon r, pour un même diamètre D₂.
- variera avec le diamètre D₂, lorsque la course et le diamètre du cylindre sont fixés. La puissance présentera alors un maximum pour une valeur de D₂ qu'il sera judicieux d'adopter lors de la conception de son moteur.
Voir ci-dessous un exemple de graphique d'optimisation :
Optimisation du diamètre D2 voyant la pression atmosphérique

En ordonnée, on a la puissance du moteur en pourcentage de la puissance maximale qu'on peut obtenir.
En abscisse, on a la valeur D₂ exprimée en pourcentage de la valeur de D₁.

Maintenant, à vous... Bonne chance !

Le moteur Manson